Juan Carlos Espinosa Ceniceros: [Lab ACSD] 6. Análisis de sistemas de control en el espacio de estados

B.11.1 Considere el siguiente sistema representado mediante la funcion de transferencia:

Obtenga las representaciones en el espacio de estados de este sistema en las formas:

Forma canónica controlable
Forma canónica observable

SOLUCIONES

Antes de comenzar con las soluciones, debemos representar nuestra ecuación en la forma:

[2]

Si nuestra ecuación es:

Entonces nuestra ecuación quedaría:

Donde:

b₀ = 0
b₁ = 1
b₂ = 6
a₁ = 5
a₂ = 6

[1] "Existen dos conceptos fundamentales de los sistemas de control: la controlabilidad y la observabilidad.

La controlabilidad se ocupa del problema de poder dirigir un sistema de un estado inicial dado, a un estado arbitrario y la observabilidad se ocupa del problema de determinar el estado de un sistema dinámico a partir de observaciones de los vectores de salida y de control en un número finito de periodos de muestreo.

El concepto de controlabilidad es la base para solucionar el problema de la ubicación de polos y el concepto de la observabilidad juega un papel importante para el diseño de los observadores de estados."

Controlabilidad

[1] "Un sistema es controlable si cada variable de estado del proceso se puede controlar para llegar a un cierto objetivo en un tiempo finito, a través de algún control no restringido u(t). Por lo tanto el concepto de controlabilidad trata de la existencia de un vector de control que puede causar que el estado del sistema llegue a algún estado arbitrario.

En forma intuitiva, un sistema de control es controlable si todas las variables de estado pueden ser controladas en un periodo finito, mediante alguna señal de control no restringida. Así, si cualquiera de las variables de estado es independiente de la señal de control, entonces resulta imposible controlar esa variable de estado y, por lo tanto, el sistema es no controlable."

La forma controlable está dada por la forma:

[2]

Ahora, tomando nuestras variables b₁ = 1, b₂ = 6, a₁ = 5, a₂ = 6, la representación de estados en la forma controlable quedaría:

Respuesta 1: Forma canónica controlable

Observabilidad

[1] "El concepto de observabilidad es dual al de controlabilidad, e investiga la posibilidad de estimar el estado del sistema a partir del conocimiento de la salida.

Consideramos el sistema lineal estacionario:

[3]

Se dice que el estado x(t0) es observable si dada cualquier entrada u(t), existe un

tiempo finito tf ≥ t0 tal que el conocimiento de:

u(t) para t0 ≤ t < tf
las matrices A, B, C y D
la salida y(t) para t0 ≤ t < tf

sea suficiente para determinar x(t0). Si cada estado del sistema es observable para

un tiempo finito, se dice que el sistema es completamente observable, o

simplemente observable."

La forma observable está dada por la forma:

[2]

Ahora, tomando nuestras variables b₁ = 1, b₂ = 6, a₁ = 5, a₂ = 6, la representación de estados en la forma observable quedaría:

Respuesta 2: Forma canónica observable.

Forma canónica diagonal

De forma complementaría, veamos como obtener la forma canónica diagonal. Primero debemos comenzar hallando las raíces del denominador, siempre y cuando éstas sean distintas: